中考难点,构造四法,破解双动点背景下的相

双动点背景下的相似三角形的存在性问题是中考卷中考压轴题中的常见热点题型．在平面直角坐标系中，根据题目给出的条件结合常见的基本图形，结合相似三角形的相关判定即性质，灵活构造相似条件解题是解决此类问题常用的策略，此类题目往往是多解题目，学生往往顾此失彼，造成解题过程不完备而失分．下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

典型考题

1.构造两边成比例

例1．（新疆中考题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移15/4个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；

（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．

（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，二次函数顶点D（3/2，25/4）;

（2）物线向下平移15/4个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（3/2﹣h，5/2），将点AC的坐标代入直线AC的表达式得：5/2＝4（3/2﹣h）+4，解得：h＝15/8，故：0＜h＜15/8；

（3）分△CPQ∽△CBA、△CPQ∽△ABC，两种情况分别求解即可．

2.构造直角边成比例

双动点问题更多与直角三角形相关，若已知直角，则两直角边成比例即可，若直角边与坐标轴平行，则可用点坐标求得，若直角边为斜线，考虑化斜为直．

例2.（常德中考题）如图，已知二次函数的图像过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式y＝1/4x2﹣3/2x；

对于直角三角形而言，从三角函数的角度来看，两直角边对应成比例与有一组锐角三角函数值相等其实是一回事，对于位置特殊一点的（比如直角边与坐标轴平行），直接表示线段计算，而位置比较一般的可以通过（1）表示线段；（2）构造三垂直相似得到结果．

3.构造直角

若已知三角形有一组锐角相等，且其中一个为直角三角形，则另外为直角三角形即满足相似，问题便转化为构造直角，利用斜率之积为-1可帮助解题．

例3.（锦州中考题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3/4x+3的图像与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标。

（1）根据y＝﹣3/4x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；

（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：

4.构造相等锐角

若已知两三角形均为直角三角形，也可考虑构造一组锐角相等，构造旋转角或直接构造三垂直均可解决问题．

例4.（泸州中考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线y＝﹣1/3x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；

（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．

方法总结

对于相似存在性存在性问题，单动点还是双动点并不是重点，在找到一组相等角的前提下，恰当选择表示两边成比例还是继续构造第二组相等角才是关键，在边易表示的情况下表示边，在角易构造的情况下构造角．分析明白每个条件尤其是关键性条件的用意，离得到答案便不远了．

解题策略：双动点类问题，主要内容如下：

（1）已知相等角构造两边成比例：根据线段位置表示边．

（2）已知直角构造直角边成比例：①直接表示水平或竖直直角边；②化斜为直．

（3）已知相等锐角构造直角：直角三角形存在性问题

（4）已知直角构造相等锐角：①三垂直相似构造旋转角；②直接构造三垂直

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